Можно ли вылечить такую проблему

Попытаться самым щадящим методом.
Компрессы спирта.
Если нет спирта, то водки.
Этанол разрушает фиолетовый пигмент.

Не поможет, то базирон должен помочь.
Но я базироном ни разу не лечила. Ориентируюсь на многократно показанные лечения.

А ручку оттирала спиртом.

Здравствуйте! В аптеке купите Базирон — намажьте густо, накройте плёнкой, чтобы не было контакта с воздухом и положите на окно. Гарантированно сойдёт!

У вас пятно свежее быстро вывести можно базироном, как написали выше.
Я вот этого пол года лечила. Маркер был застаревший

Сначала фото «было-стало»
Было



Стало


По фоткам видны: намертво въевшаяся грязь, чернила, и что-то крсное у губ. Кроме того на лбу и коленке пятна йода, что лечению поддаётся условно.
С грязью справились без особых проблем. Чернила вывели за двое суток. Поскольку пупс попал ко мне в конце лета, удалось справиться за столь короткое время — два жарких дня и тёплые ночи. Способ лечения прост: густо обмазала базироном (можно использовать угресепт), плотно обернула пищевой плёнкой и положила на подоконник. Благо окна выходят на юг. А вот пятна от йода лечу до сих пор, практически 8 месяцев идёт у нас лечение. Пятна сильно побледнели, но ещё видны. Надеюсь, что удастся от них избавиться, до полного очищения винила. За одно и остальные части тела держу на свету и в тепле. За прошедшее время винил конечностей и туловища окончательно очистился (высветлились все серые пятна-разводы) и выровнялся цвет. От базирона иной раз остаются белёсые пятна, которые с течением времени проходят.
Удачи Вам и пациенту!

Просто положите на солнце. Надо много времени, возможно 2 месяца, но пятна уйдут полностью. Без Базирона. Звучит, возможно странно. И сама бы я не поверила, если бы не попробовала. Просто положить на подоконник, где больше солнца. Пример: исчерканый пупс полежал на балконе, фото до и после…

Собачий шампунь «доктор Гудмэн» зеленый (!) в разы дешевле базирона. Мажете и в пакет, на солнышко. У меня почеркушки за два-три солнечных дня сходили. Чернила выводятся проще маркера и быстрее. Абсолютно безвредно даже для стареньких фройляйн)) и кукол СССР, которым не один десяток лет, удачи вам!

Считаю, что собачий шампунь это оптимальное решение. Базирон слишком дорогой, имеет его смысл покупать, если вы будете много кукол лечить, а ради одного китайского пупса не стоит.
В- принципе, годится любой препарат, содержащий Бензоил Пероксид. Но в России, по- моему, только эти два есть. Также можно удалять пятна Угресолом, он несколько дешевле Базирона, но тоже не слишком дешевый. Пишу это на случай, вдруг у кого- то из знакомых найдется ненужный или просроченный.
Лучше куклу не в пакет, а снять голову, намазать, завернуть в пленку и положить в тепло или на солнце, только не на яркое, могут остаться белые пятна. Препарат раз в день подмазывать новый. Если пятна за три дня не уйдут, не отчаивайтесь, у меня иные пятна по полгода выводились, они рано или поздно уйдут. Я первые несколько дней мажу куклу и держу ее в тепле, а потом, когда надоест, не разворачивая убираю с глаз долой. Препарат продолжает работать. Потом я про куклу вспоминаю, нахожу ее и радуюсь тому, что чистенькая.